常用仪器

瞬时功率

瞬时功率是通过加在其上面的电压以及流过的电流计算的

$p(t)=v(t)i(t)$

能量

能量是瞬时功率在时间上的积分，单位为瓦特(W)

$W=\int_{t1}^{t2}p(t)dt$

平均功率

周期的电压和电流将产生周期的瞬时功率。平均功率是对p(t)在单个或多个周期时间内的平均，平均功率P可表示为(T为功率的周期时间)

$P=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}p(t)dt=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}v(t)i(t)dt\iff P=\frac{W}{T}$

平均功率在交流电路中通常也被成为实际功率或有功功率。

交流电

有效值RMS

电压或电流的有效值也被成为均方根或方均根(RMS,root-mean-square)。周期电压波形的有效值是基于传递到电阻上的平均功率确定的

恒定电压的功率:

$P=V_{dc}^2/R$

对于任一电阻为负载的波形的功率计算，有效值采用类似的定义:

$P=V_{eff}^2/R\\\\P=\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)i(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{v^2(t)}{R}dt=\frac{1}{R}[\frac{1}{T}\int_0^Tv^2(t)dt]\\\\联立可得:P=V^2_{eff}/R=\frac{1}{R}[\frac{1}{T}\int_0^Tv^2(t)dt]$

最终得到有效值电压表达式:

$V_{eff}=V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tv^2(t)dt}$

类似可得有效值电流表达式:

$I_{eff}=I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Ti^2(t)dt}$

视在功率S

视在功率是电压和电流有效值的乘积，常用于对变压器功率设备的标称，即

$S=V_{rms}I_{rms}$

在交流电路中，视在功率是复功率的幅值

功率因数

负载的功率因数定义为平均功率(有功功率)与视在功率的比：

$pf=\frac{P}{S}=\frac{P}{V_{rms}I_{rms}}$

上式也可写成pf=cosθ，其中θ是正弦电压与电流之间的相角，但这是特例，只有当电压和电流均为正弦时才能使用。通常，功率因数通过上式计算

正弦功率计算

虽然，在电力电子电路中电压或电流不一定是正弦的，但是非正弦周期波形总可以用正弦的傅里叶级数表示。

假设交流电路中:

$v(t)=V_mcos(\omega t+\theta),i(t)=I_mcos(\omega t+\phi)$

瞬时功率为

$p(t)=v(t)i(t)=V_mcos(\omega t+\theta)I_mcos(\omega t+\phi)\\\\=\frac{V_mI_m}{2}[cos(2\omega t+\theta+\phi)+cos(\theta -\phi)]$

周期内的平均功率为:

$P=\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)dt=\frac{V_mI_m}{2T}\int_0^T[cos(2\omega t+\theta+\phi)+cos(\theta -\phi)]dt$

很容易得到:

$P=\frac{V_mI_m}{2}cos(\theta -\phi)$

可用有效值表示:

$P=V_{rms}I_{rms}cos(\theta -\phi),V_{rms}=V_m/\sqrt2,I_{rms}=I_m/\sqrt2$

θ-Φ是电压于电流的相角，此时的功率因数为：cos(θ-Φ)

非正弦功率计算

利用傅里叶级数，将其变换到一系列正弦波形之和，电路功率关系也可以用傅里叶级数表达